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--- faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:start [27.09.2021 16:56] – sbel
+++ faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:start [05.10.2022 18:38] (aktuell) – [Negative Zahlen - Zweierkomplement] Frank Schiebel
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-Ausgeschrieben bedeutet die Zahl: ''2 * 10^4 + 3 * 10^3 + 0*10^2 + 8*10^1 + 9 * 10^0 = 2 * 10 000 + 3 * 1000 + 0 * 100 * 8 * 10 + 0 * 1''. Jede Stelle hat also einen bestimmten Wert: Die ganz rechts hat den Wert 1, dann kommt der Wert 10, 100 u.s.w. Man spricht von einem Stellenwertsystem.
+Ausgeschrieben bedeutet die Zahl: ''2 * 10^4 + 3 * 10^3 + 0 * 10^2 + 8 * 10^1 + 9 * 10^0 = 2 * 10 000 + 3 * 1000 + 0 * 100 * 8 * 10 + 0 * 1''. Jede Stelle hat also einen bestimmten Wert: Die ganz rechts hat den Wert 1, dann kommt der Wert 10, 100 u.s.w. Man spricht von einem Stellenwertsystem.
+Da ein Mikroprozessorsystem nur 2 Zustände kennt, 0 und 1, verwendet man hier als Basis die Zahl 2 anstatt der gewohnten 10:
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:2er.png?nolink |}}
+Ausgeschrieben bedeutet diese Zahl: ''1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 10^1 + 1 *2^0 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29d''
+==== Übertrag ====
+Mit ''n'' Bit kann man also die (vorzeichenlosen) Zahlen von ''0-2^n-1'' darstellen. Überschreitet man diesen Bereich, findet ein **Übertrag** statt - der Przessor setzt das Carry-Flag:
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:auswahl_006.png?nolink |}}
+Addiert man zum Bitmuster von 255 '1', findet ein Übertrag von der Einer auf die Zweierstelle statt, von der Zweier- auf die Vierer u.s.w. da nur 8 Bit zur Verfügung stehen, ist das Ergebnis in 8 Bit nicht '1 0000 0000' (9 Bit) sondern '0000 0000'. Dieser Fehler wird im Carry-Flag festgehalten.
+==== Negative Zahlen - Zweierkomplement ====
+Negative Zahlen werden im **Zweierkomplement** notiert. Dabei hat das höchstwertige Bit ein negatives Vorzeichen:
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:2erkompl.png?nolink |}}
+Die Zahl oben steht für ''**-** 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -16 + 8 + 4 + 0 + 1 = -3d''
+Die Zahl unten steht für ''**-** 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = -0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 13d''
+Eine negative Zahl hat also stets eine 1 an der höchstwertigen Stelle, denn die anderen Stellen können auf keinen Fall den neagtiven Wert ausgleichen: ''1111 1111 = -1d''
+Zahlen mit der Länge 8 Bit im Zweierkomplement haben also einen Wertebereich von ''-128 ... 127''
+Die Darstellung im Zweierkomplement führt zu "nahtloser" Addition negativer Zahlen:
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:auswahl_007.png?nolink |}}
+Addiert man zu ''-1'' die Zahl ''1'' ergibt sich korrekterweise ''0'' - man muss lediglich das Carry-Flag ignorieren. Genau so rechnet ein Mikroprozessor.
+==== Überlauf ====
+Beim Rechnen mit Zahlen in Zweierkomplementdarstellung lauert eine andere Gefahr: Ein Übertrag auf das Vorzeichenbit,
+der sog. **Überlauf** ändert nämlich das Vorzeichen der Zahl! Dies passiert allerdings nur, wenn
+nicht gleichzeitig auch ein **Übertrag** entsteht und Mikroprozessoren setzen auch nur dann das
+Überlaufflag.
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:auswahl_009.png?nolink |}}
+Bei der Addition von ''1'' zu ''127'' findet ein Überlauf auf das Vorzeichenbit statt, man erhält plötzlich ''-128'' als Ergebnis.
+==== Zahlenringe für 4Bit-Zahlen ====
+Unten sieht man eine recht intuitive Darstellung der Situation als "Zahlenring" für 4 Bit lange Binärzahlen. Links vorzeichenlose Zahlen mit dem Übertrag, rechts Zahlen in Zweierkomplementdarstellung mit Überlauf.
+{{ :faecher:informatik:oberstufe:techinf:assembler:zahlen:auswahl_008.png?nolink |}}
+==== Zahl und Gegenzahl im Zweierkomplement ====
+Wenn man zu einer gegebenen Zahl im Zweierkomplement die Gegenzahl bestimmen möchte, kann man wie folgt vorgehen:
+  * ''1011'' ist ''-8 + 3 = -5d''. Gesucht ist also die Binärdarstellung von ''+5d''
+  * Die invertierte Zahl ist ''0100'' (4d)
+  * Die Gegenzahl ist ''0101'' (5d)
+Das klappt immer!
+$$-Z = \overline{Z} +1 $$