Logische Funktionen finden

Häufig ist die Funktion als Wertetabelle gegeben, zum Beispiel1) x sind die Eingänge, y die Ausgänge

Ausführlich übersetzt lautet die so definierte logische Funktion von links nach rechts gelesen also:

Wenn x1 = 0 und x2 = 0, dann ist y = 1.

Wenn x1 = 0 und x2 = 1, dann ist y = 1.

Wenn x1 = 1 und x2 = 0, dann ist y = 0.

Wenn x1 = 1 und x2 = 1, dann ist y = 1.

Wie realisiert man diese Funktion mit den elementaren AND, OR und NOT-Gattern?

Man kann die Wertetabelle auch von recht nach links lesen:

y=1 wenn x1=0 und x2=0

y=1 wenn x1=0 und x2=1

y=0 wenn x1=0 und x2=0

y=1 wenn x1=1 und x2=1

Wenn man jetzt die Fälle zusammenfasst, in denen y=1 ist, erhält man:

y=1 wenn…

… x1=0 und x2=0 ODER

… x1=0 und x2=1 ODER

… x1=1 und x2=1

Nun muss man also nur noch für die drei Teilbedingungen die entsprechenden Schaltungen finden und diese mit OR verknüpfen.

y=1 wenn…

… (¬X1) ∧ (¬X2)

… (¬X1) ∧ X2

… X1 ∧ X2

Das kann man ziemlich direkt als Schaltung eintragen:

Schnellanleitung

Suche alle Zeilen, in denen der Ausgabewert 1 ist Bilde für jede dieser Zeilen AND-Terme aus allen Eingabewerten (x-Werten). An Stellen, an denen xi=1 ist, bleibt die Variable xi im Term unverändert An Stellen, an denen xi=0 ist, muss die Variable xi mit NOT negiert werden Verknüpfe die AND-Terme aller Zeilen mit OR

Übungen

(A1)

Finde den Ausdruck für die Logikfunktion und entwerfe die Schaltung im Simulator. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Wertetabelle.

x0	x1	y
1	1	0
1	0	0
0	0	1
0	1	1

(A2)

Vervollständige die untenstehende Tabelle gemäß der Beschreibung. Realisiere jede Funktion yi anschließende als Schaltung in Piiri.

y0 ist genau dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind

y1 ist genau dann 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist

y2 ist genau dann 1, wenn alle Eingänge 0 sind

y3 ist genau dann 1, wenn mindestens ein Eingang 0 ist

y4 ist genau dann 1, wenn x0=1 und x1=x2=0 ist

y5 ist genau dann 1, wenn x0=1 und mindestens einer der beiden Eingänge x1 und x2 1 ist.

y6 ist genau dann 1, wenn x0=1 und genau einer der beiden Eingänge x1 und x2 1 ist.

y7 ist genau dann 1, wenn die Anzahl der mit 1 belegten Eingänge ungerade ist

y8 ist genau dann 1, wenn mindestens zwei Eingänge 1 sind

y9 ist genau dann 1, wenn x0=x1=x2=0 oder x0=x1=x2=1

Finde für y10 und y11 verbale Beschreibungen:

y10 ist …

y11 ist …

(A3)

Gegeben sind die Wertetabellen der logischen Funktion f und g:

Finde die Ausdrücke für die Logikfunktionen und entwerfe Schaltungen im Simulator. Kontrolliere dein Ergebnis anhand der Wertetabelle.

Lösung f

f = (¬x1) ∧ (¬x2) ∧ x3 ∨ (¬x1) ∧ x2 ∧ (¬x3) ∨ (¬x1) ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ (¬x2) ∧ x3

Lösung g

g = (¬x1) ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ (¬x2) ∧ (¬x3) ∨ x1 ∧ x2 ∧ (¬x3)